RC直列回路と周波数特性-回路方程式

RC直列回路の回路方程式と周波数特性ってどう解くの？

今回は電気回路の

RC直列回路方程式とその性質(周波数特性)

について解説を行っていきます。

回路方程式の解き方

上図において

電圧V1=E

抵抗R1に加わる電圧をV_R (t)

コンデンサC1に加わる電圧をV_C(t)とし

t≧0においてキルヒホッフの第2法則を用いると

E－V_R (t)－V_C(t)＝０　　（1）

であり，抵抗とコンデンサに流れる電流は等しく

それをi(t)とすると抵抗Rに加わる電圧V_R (t)＝Ri(t)と表せられる．

またC両端電圧 V_C(t)の電荷をｑとすると

V_C (t)＝q/c　　　(2)

と表される。

電流はi(t)＝dq/dt 　　 (3)
で与えられるため

抵抗Rの両端電圧V_R(t)は

V_R(t)＝R* dq/dt　　(4)
で表せる。

したがって(1)～(3)より
R* dq/dt  +  q/C ＝E　　　(5)
となり

この(5)式の微分方程式を解くと
q=CE+Ae^(-1/CR )*t　　  (6)
となる。

Aは積分定数とする。

t＝0においてコンデンサに電荷が蓄積されていないので

初期条件t＝0でq＝0である。

これを用いると積分定数A＝－CVと表せられる．

したがって，電荷qは
q=CE(1-e^(-1/CR)*t) 　　　(7)
である。

また、(2)，(3)，(4)式に(7)式を代入すると

i(t)＝(E/R) e^(-1/CR)*t     [A]　　 　 (8)
V_R(t)＝Ee^(-1/CR)*t　       [V]　      　 (9)
V_C (t)＝E(1-e^(-1/CR)*t )  [V]　      　 (10)

が得られる 。

ここで，時定数と呼ばれるT=CRを定義します。

時定数は

電流及び電圧の過渡的な変化が落ち着くまでの目安の時間を表します。

また周波数の異なる交流に対する回路応答についてはフィルタ回路と呼ばれ

雑音に埋もれた信号を取り出すときに使われます。

RC直列回路の周波数特性

RC直列回路の低域通過フィルタ回路の周波数特性

を示すために

周波数伝達関数G(jω)と位相∠G(jω)の理論式を求めると

上図のRC直列回路において

出力端をVcとして

この回路に流れる電流をiとする

キルヒホッフの第2法則を適応すると
Vi－Ri－{－j*( 1/ωC)}*i ＝ 0     　　   (11)
が得られる．

出力電圧 Vc は
Vc=－j*( 1/ωC)* i 　　　　　　　　   (12)
である．

(11)式からiを求め，(12)式に代入すると

Vc＝{ 1/(1+jωCR) }* Vi   　　　　　   (13)
で表される．

ここでVi，Vcは、それぞれ

｜Vi ｜e^jωt   、｜Vc ｜e^jωt

の正弦波交流電圧を意味しているので

位相差を考慮すると出力電圧Vcは

Vc=Vi/√{1+(ωCR)^2 } ∠－tan^(-1)  (ωCR)        (14)
となる．

以上より周波数伝達関数G(jω)と位相∠G(jω)を求めると

|G(jω)|＝20log₁₀{1/√(1+(ωCR)^2 }＝－10 log₁₀[1+(ωCR)^2 ] 　　[dB]　　　 (15)
∠G(jω)=∠－tan^(-1) (ωCR) 　　[°] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (16)
が得られる。

実際にLTSpiceでGainのボード線図を見てみると

上図のようになっています。

この図から周波数の低い場所では

利得が0[dB]から－3[dB]を

周波数の高い場所では

マイナスの利得となることで

高い周波数成分をカットできることが確認できます。

これがLPFと呼ばれ

低域通過フィルタ

つまり低い周波数成分が取り出せる回路

ということがわかります。

お疲れ様でした。